ベクトル解析｜ナブラ｜女子大生の備忘録 #5
こんにちは、鈴です。
今回はベクトル解析についての備忘録です。
ここ最近勉強する機会があったので、内積・外積、ナブラ演算子の公式などをまとめて記録していきます。
前回の記事はこちらから↓
では、早速本題に移りましょう。
以下の２つのベクトルについて考えます。
この時、i, j, kはそれぞれが直交する単位ベクトル（大きさ１のベクトル）です。
内積（ドット積）
内積は上の公式によって求められます。
高校数学で学んでいる人も多いと思うので、これは問題ないかと思います。
ベクトルを絶対値記号で囲った値はベクトルの大きさを示したもので、２行目のように計算して求めることができます。
外積（クロス積）
外積は上の公式によって求められます。
行列を扱うので見た目には難しそうですが、各単位ベクトルについて、垂直方向以外に存在する4つの値を対角線上で掛け合わせて計算しているだけです。
慣れないうちは行列式も省略せずに記述したほうが計算ミスする確率が下がるのでオススメです。
ナブラ演算子
上はナブラ演算子の定義になります。
以降のベクトル解析で使用する演算子になりますが、この演算子の定義さえ覚えておけば以降の公式については知識の組み合わせで解けるようになっています。
ここで、スカラー場f、ベクトル場Fを以下のように定義します。
勾配
勾配は上の公式によって求められます。
一見難しそうに見えますが、ナブラの単位ベクトルごとに定数fをかけているだけだと思えば簡単です。
発散
発散は以上の公式によって求められます。
これはベクトルであるナブラ、Fの内積です。先ほどのベクトルの基礎知識があり、左辺の意味が理解できれば暗記しなくても解けるようになっています。
回転
回転は以上の公式によって求められます。
もうお分かりかと思いますが、これはナブラとFの外積に等しいです。
ラプラシアン
最後はラプラシアンの公式です。
これは今までの公式とは形式が異なりますが、ナブラとナブラに定数fをかけたもの（＝ベクトル）の内積だと考えれば右辺の意味が理解できると思います。
まとめ
ナブラ演算子はベクトルと同じ扱い方ができるので、ベクトル解析の基礎、内積と外積の公式さえ覚えていれば、丸暗記せずとも解くことができます。
大事なのは基礎固めですね。
余談
はてなブログで数式書くのはなかなか難しかったので、一度LaTeXを用いてファイルを作って切り取って貼るという雑な手法を使ってしまいました。
読み込みに時間がかかってしまったらすみません。
ナブラ演算子については、初め丸暗記しようとしていたのですが、意味がわかれば「全然暗記しなくていいじゃん」となりました。
力技でどうにかしようとするのではなく一度考え方を工夫して見ることが大事ですよね・・・。
「こんなのもう知ってるよ！」って方は大多数かと思いますが、私と同じく力技を使いかけた少数の方たちの参考になれば幸いです。
では。
鈴
